ОТЛИЧНИК

Пример 1. Решить неравенство

 

 

1) Определим, при каких х аргументы логарифмов положительны. Для этого нужно решить совместно  два неравенства: 

 

 

2) Первое неравенство имеет место при всех х≠−3. Перепишем второе неравенство следующим образом:

 

 

 

Левая часть последнего неравенства определена при                                   Если правая часть неравенства                    (1) отрицательна, а левая положительна или равна нулю. Следовательно, множество                 состоит из решений неравенства (1). При                     неравенство (1) равносильно неравенству                         , которое не имеет решений. 

 

Таким образом, аргументы логарифмов, входящие в исходное неравенство, положительны при                                      .

3) Заметим, что основание логарифмов                        положительно для всех х. Для того чтобы воспользоваться правилом о равносильности, выясним, при каких x из множества                                 основание                    удовлетворяет неравенству                            Это неравенство равносильно неравенству                   .

 

4) Решая методом интервалов, получим, что решением будет множество                  .          Итак, получили, что для всех       x≠−1, при которых аргументы логарифмов положительны, основание больше единицы. Правило 4 позволяет теперь от исходного неравенства перейти к неравенству                                    

которое равносильно исходному на множестве                                

 

Так как по определению абсолютной величины                                                         то удобно рассмотреть два случая.

 

 

а) x<−3. Тогда неравенство принимает вид                                      или, после преобразования,  

Это неравенство не имеет решений, так как его левая часть отрицательна, а правая неотрицательна.

б) x>−3. В этом случае получаем неравенство:                                  или

 

5) Последнее неравенство может выполняться лишь при таких x, что                   , т.е.              Для таких x возведением в квадрат получаем равносильное на множестве                 неравенство

 

или

 

Вычисляя корни квадратного трехчлена, перепишем последнее неравенство в виде

Решением этого неравенства будут интервалы:

 

 

 

Первый интервал не пересекается с множеством                   , а второй интервал в пересечении с этим

 

множеством дает интервал −                            , который и будет решением исходного неравенства.