ОТЛИЧНИК

 Стандартный путь решения неравенств с модулем заключается в том, что координатная прямая разбивается на промежутки (границами этих промежутков являются нули подмодульных выражений), а затем неравенство решается на каждом из промежутков.

 

Этот метод работает всегда. Правда, в отдельных случаях может быть затруднена его техническая реализация, например, очень тяжело или невозможно найти корни подмодульных выражений и пр. Однако, это сложности иного плана. Нужно понимать, что раскрытие модуля по определению неизменно приводит к цели. Конечно же, этот метод не является оптимальным: в условиях конкурсного экзамена важен не только результат, но и то время, которое потрачено на его получение.

 

Рассмотрим методы, не связанные с поиском нулей функций, стоящих под знаком модуля.

 

Рассмотрим неравенство            . Очевидно, что те x, для которых g (x) < 0, не являются решениями. Значит, если x является решением, то для него g (x) ≥ 0, и согласно геометрическому смыслу модуля, как расстоянию на координатной оси, данное неравенство равносильно системе                                     . Таким образом, имеем: 

 

 

 

 

 

Аналогично можно рассмотреть неравенство            . Неравенство выполнено для тех x, для которых g (x) < 0 и функции f (x) и g (x) определены. Для тех x, для которых g (x) ≥ 0, имеем равносильную совокупность

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что последняя совокупность является равносильной нашему неравенству и при g (x) ≤ 0. В этом можно непосредственно убедиться, учтя g (x) ≤ 0 и вспомнив определение знака совокупности.

 

Пример 1.  Решить неравенство

 

1) Корни квадратного трехчлена                      равны                          

2) Следовательно, выражение                      неотрицательно на множестве                               и отрицательно для 

 

Для решения неравенства удобно отложить на вещественной прямой точки, в которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль.

 

3) Это будут точки -1, 0, 3. Они разбивают вещественную прямую на четыре части:

Рассмотрим неравенство на каждом множестве       отдельно:

 

1.               Тогда                                               Поэтому                                              ,                  .            

Следовательно, на множестве      исходное неравенство принимает вид                                 решением которого на множестве  будет 

 

2.               Тогда                                               Поэтому                                                                   и на       неравенство запишется

 

в виде                                     решением которого будет интервал                             Так как                           то решением исходного неравенства на        будет множество 

 

3.                Действуя аналогично, приходим в этом случае к неравенству                                      или   

Таким образом, на       решением будет множество 

 

4.                Исходное неравенство приобретает вид                                   которое на       имеет решение 

 

Итак, получили решение