ОТЛИЧНИК
Все шансы на успех в решении неравенств любой сложности!
После наших занятий баллы учеников
по тестам ЕГЭ становятся выше
Неравенства
Понятие неравенства. Равносильность
Неравенство с одним неизвестным в общем случае записывается в виде f(x) > g(x), где f(x) и g(x) - произвольные функции.
Решением неравенства с одной переменной называют множество значений переменной, которые обращают его в верное числовое неравенство.
Решить неравенство – значит, найти все его решения или доказать, что неравенство решений не имеет.
Областью определения неравенства называется множество всех таких значений переменной, при которых функции f(x) и g(x) определены. Иными словами область определения неравенства – это пересечение областей определения функций f(x) и g(x).
Рассмотрим отличия неравенств от уравнений:
1. Имеет бесконечное множество решений.
2. Невозможна проверка подстановкой в исходное неравенство.
Поэтому неравенства можно решать только равносильными преобразованиями:
Решение неравенства заключается в замене исходного неравенства более простым, но равносильным неравенством.
Неравенства называются равносильными, если их решения совпадают.
Пример:
Множества решений совпадают. Значит:
Если решение неравенства (1) содержится в
решении неравенства (2), то неравенство (2) есть
следствие неравенства (1).
.
Решение неравенств основано на шести важных теоремах о равносильности:
1. Если какой-либо член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство равносильное данному:
2. Если обе части неравенства возвести в одну и ту же нечетную степень, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному:
3. Показательное неравенство равносильно
А) неравенству того же смысла , если a > 0 :
Б) неравенству противоположного смысла ,
если 0 < a < 1:
4. А) Если обе части неравенства умножить на одно и то же выражение h(x), положительное при всех x из области определения неравенства, оставив при этом знак неравенства без изменения, то получится неравенство равносильное данному:
Б) Если обе части неравенства умножить на одно и то же выражение h(x), отрицательное при всех x из области определения неравенства, оставив при этом знак неравенства без изменения, то получится неравенство равносильное данному:
5. Если обе части неравенства неотрицательны в области его определения, то после возведения обеих частей неравенства в одну и ту же четную степень n получится неравенство того же смысла равносильное данному:
6. Если f(x) > 0 и g(x) > 0,
то логарифмическое неравенство равносильно:
А) неравенству того же смысла , если a > 1:
Б) неравенству противоположного смысла , если 0 < a < 1:
.
